47、分数阶微积分

分数阶微积分几乎与通常的微积分概念提出的一样早，在莱布尼茨与朋友的通信中，就曾经探讨过如果求一个函数的二分之一阶微分会怎样，后来人们把包括分数阶乃至实数阶甚至复数阶的微积分理论通称为分数阶微积分。莱布尼茨认为，将微分运算从整数阶推广到分数阶会导致悖论，但终有一天会得到实际的应用。

在后来的历史中，整数微积分发展的如火如荼，大量的应用接连不断，但分数理论则一直进展缓慢，直到二十世纪末期，分数微积分才逐渐受到重视并迅速发展。从数学统一性的角度来看，分数微积分才是更大范围的数学，而整数理论则是一种特例，因此我们不能仅仅从整数微积分极为广泛的应用就忽略分数理论的研究，尽管分数微积分热度的上升仍然是因为工程领域具体应用的突破。

分数理论可以通过整数微积分从不同的角度推广得到，因此存在许多不同种类的分数阶理论，它们在阶数为整数时退化为普通微积分，同时得到相同的结论。但阶数为任意实数或复数时，得到的结果并不相同。这也正是为什么莱布尼茨会说分数阶微积分会导致悖论，如今看来，这不是悖论，而是分数理论依据定义的不同，存在许多不同的种类，因此具有更加丰富的内容。最常见的分数阶理论是通过伽玛函数对微分算子进行推广。由于伽玛函数可以认为是阶乘概念的推广，而一般函数可以展开为幂级数形式，对函数求整数阶导数，一般会出现阶乘，这样就可以通过伽玛函数实现这种阶数的推广。

有了关于分数微分算子的定义，就可以讨论一般意义下的分数微分与积分甚至分数阶微分方程了。整数阶微分方程一般下一刻的状态只和现在的状态有关，而与过去状态无关，因此是一种马尔科夫过程，而分数阶微分方程不仅与现在状态有关，还与过去状态有关，因此具有非局域特性，特别适合构造与记忆、遗传有关的过程。这一吸引人的特性打开了分数阶理论的应用之门。在流体力学、流变学、粘弹性力学、分数控制系统等领域获得了实际应用。分数微分方程一般具有形式简洁的特点，其结果也与实验符合的很好，比相应的其它竞争性理论有明显的优势。

但是，我们被分数微积分吸引并对它寄予厚望，并不是想让它在这些太具体、太实用的领域发挥作用，而是希望它能够带给我们不一样的惊喜，希望它发挥作用的领域更基础一些，从而涵盖或统一更大的领域。我们知道，微观世界受量子规律支配，而量子规律有两种截然不同的过程，一类由连续的、经典的、满足局域性和因果律的薛定谔方程支配，另一类由分立的、量子的、具有非局域性的测量过程构成。这两种图像无法统一到一个图景之中，而分数阶微积分具有刻画非局域性质的能力，因此希望它能具有这种统一微观世界规律的能力。而在日常的现实世界里，具有分形特征的现象也是普遍存在的，分数阶理论有希望理解和刻画分数维空间中的动力学演化过程。因此，通过分数阶微分方程，很有可能实现从分形几何学向分形动力学的实质性突破，甚至发现不同维数的空间之间的联系与相互作用，发现新的物理学。

然而目前看来，分数微积分还没有往这些更基础的方向发展，它的那些太具体，太实用的应用领域虽然让它有了一些热度，但我们能够感觉到，这样一种将传统微积分作为特例的数学工具一定包含了更丰富、更精彩的内容，它在未来真正的舞台应该是更重要而更基础的。对微分与积分阶数的这种推广，类似于从自然数向实数推广的过程，是一种认识上的实质性飞跃，它让我们我们产生了无尽的遐想，比如如果时空的维数不是整数会怎样？量子纠缠导致的非局域整体性质有没有可能是粒子之间通过其它维数甚至分数维数之间的相互作用产生的？我们有没有可能透彻理解自然界中的各种分形图案是如何形成的？

分数微分方程所具有的记忆功能也是一个值得关注的现象。我们知道，在自然界中，广泛存在记忆功能的事物首推智能生物的大脑了。大脑和传统的计算机存在本质的不同，计算机是将存储的数据作为输入信号，通过计算机程序进行严格的计算后再输出结果的；而大脑更像是一个存储了大量记忆和对记忆进行检索的搜索引擎，通过很少的片段提示，大脑就能回忆起过去发生的某个场景的全过程。由于分数阶微分方程具有类似大脑的记忆功能，故可以尝试通过它对大脑的工作机理进行模拟。传统的针对大脑运行机理的模型或许就是忽略了它的记忆特征，而分数阶微分方程这样的全新思路或许可以走出一条新路，从而解开大脑运行之谜。微分方程一般用作对未来状态的预测，可以输入现在及过去的状态，通过对微分方程的求解和演算得出未来状态。而大脑的重要用途也是针对未来的预测，通过对大量过去记忆信息的处理和对现实状况信息的采集，预测下一步环境的变化状况，并及时调节机体的行为动作，大脑无时无刻不处在这样的预测过程之中。而分数微积分则是同时具有记忆功能和预测能力的数学工具，因此有可能在对大脑的研究领域带给我们一些惊喜。

尽管分数阶微积分历史悠久，但是它的实质性进展则是近期的事情。如今，分数阶微积分以其独有的特性，正吸引着越来越多的目光，进军越来越多的领域，并不断加速发展着。相信随着研究的深入，我们会在不久的将来，在这一极为广阔的数学领域里收获颇丰。