81、半导体

如果对所有可能的材料就其应用的广泛性与重要性进行评比，那么高居榜首的非半导体材料莫属。半导体的导电能力介于导体与绝缘体之间，对热与光很敏感，与金属相反，其导电能力随温度的升高而增大。半导体的一系列独特性质让它在信息技术领域有极为重要的应用，而为了理解半导体的行为，需要从量子的角度应用能带理论进行分析。

晶体具有周期性的结构，电子则在这样的周期性势场中运动，求解相应的薛定谔方程得到的是一系列准连续的能带。当能带中电子没有填满时，对应的是导体；当电子填满能带且能带宽度较宽，热运动无法将电子激发到高能级上时，为绝缘体；而能带被电子填满，且与更高一层的空能带宽度较窄时，对应的就是半导体。当外加电场或暴露在一定的温度环境中时，半导体中的电子可以激发到高能级，满带中留下一个空穴，这个空穴在电场中的行为类似于一个等效的正电荷。电子与空穴在热运动的背景中不断的产生与复合，形成一种动态平衡，而当温度升高，热运动加剧时，电子与空穴的浓度增加，导致电阻率下降。

当我们对半导体材料掺杂一些特定的杂质时，会显著改变半导体的导电能力，因为杂质的能级与满带很接近时，会显著增加电子或空穴的浓度。在半导体硅中一边掺杂磷，另一边掺杂硼，由于两侧电子与空穴浓度不同会相互扩散，在交界面处形成一个有方向的内电场，使这个结具有单向导电能力，被称为PN结，一个PN结就是一个二极管，两个相距很近的PN结可以形成具有电流放大能力的三极管。当把二极管、三极管等基础元件集成在一整块半导体上时，也就形成了集成电路。集成电路的集成度伴随着摩尔定律一直指数级增长着，催生了如今红红火火的计算机与互联网。

半导体中的载流子是电子与空穴，当它们复合时，可能转化为热能，也可能转化为光子。当电子与空穴复合发光时，对应的就是发光二极管，如今基于发光二极管的照明设施因其极低的能耗，大有取代传统照明光源的趋势。电子空穴系统与光子相互作用的逆过程同样可以发生，当外界有光照射在半导体材料上时，会激发出电子-空穴对，增加载流子浓度，影响材料的导电性，这也是半导体材料对光敏感的原因。电子-空穴对与光和热的相互作用产生的一系列效应可以使半导体应用在许多传感器之中。

在激光理论中，如果通过外界不断提供能量的方式使高能级的粒子数大于低能级粒子数，即产生粒子数反转，就可能产生激光。在半导体材料中同样可以实现这样的过程，只需要持续提供电流，在特殊材料的半导体中就可能实现粒子数反转，此时大量的电子与空穴复合就可以产生激光。如今半导体激光器已经应用到科学技术的方方面面，成为一种高效方便低成本的激光光源。

半导体材料具有极高的应用价值，其独特的理化特性使它可以应用在不同的领域之中。半导体能够在应用领域产生如此惊人的成果自然离不开它的理论模型，不同的晶体结构会得到不同的能带结构，而晶体的能带结构以及杂质和缺陷对能带结构的影响，使我们可以计算和预测不同种类的半导体性质，使得筛选半导体材料，设计新型的半导体器件有了理论依据。

半导体的电子-空穴模型可以让人联想到狄拉克的负能海，在狄拉克的想象中，真空是所有负能级都被满足泡利不相容原理的电子填满的状态，当一个负能海中的电子吸收能量激发到正的能级上时，真空中会留下一个空穴，这个空穴在电磁场中的行为就类似于一个带正电的电子。这与半导体中的电子-空穴对的产生机理极为相似。当然，它们也有不同的地方，真空中激发的电子-正电子对中，电子与正电子具有相同的静止质量，而半导体材料中通过热激发或光激发产生的电子-空穴对，其等效质量是不同的。因为在半导体材料中，影响和决定准粒子等效质量的是准粒子受到的内部势场与外部电场的综合效果，电子受激发后离开晶格中的原有位置在整个晶格的周期性平均势场中运动，而空穴则留在原处，更多的是受到晶体中原子内部势场的作用，电子与空穴周围的环境并不一样，因此半导体中的这两种载流子等效质量不同。

从这里我们可以反向推理，讨论真空中激发的电子-正电子对。电子与正电子有相同的质量说明它们之间存在一种半导体中电子-空穴对不存在的对称性，也就是说，电子与正电子周围具有对称的环境，它们周围的环境对电子与正电子造成的效果是一样的。

从现代观点看，狄拉克海的思想是有缺陷的，它不能解释玻色子的负能现象，而且狄拉克海的思想存在一种不对称，正电子（或者说真空中的空穴）周围存在一个负能电子海，而电子周围却没有与之对称的结构。如果真空中真的存在负能电子海，那么在任意一个空间区域内都存在无穷大的负电荷，这显然是不可能的。

为了让电子与正电子具有对称性，可以设想在电子周围同样存在一个负能正电子海，这个负能正电子海与狄拉克海的电荷相互中和，使真空不带电荷。这样的图像更像量子场论中的真空，在极小的尺度与极短的时间间隔内，真空中不断产生和湮灭虚的电子-正电子对。这样，电子与正电子具有相同的质量理解起来也就容易一些了。

固体材料中的基态与真空态的相似性使凝聚态物理与高能物理可以相互启发。半导体材料的电子-空穴模型可以让我们理解半导体许多独特的行为，计算半导体性质，为应用领域打开方便之门，也使我们体会到，一个好的数学模型在理论与应用中的重要意义。