86、不动点

如果我们在计算器上随机输入一个数字，然后不停的求它的余弦值，经过多次求解之后会发现，无论当初输入的初始数字是什么，最终结果都会锁定在0.7391上。在数学中就有这样一个与此相关的很重要的概念：不动点。如果一个函数映射到它自身的一个点上时，这个点就被称为不动点，即将不动点的数值代入函数中，求得的函数值就是它本身。由于任何函数对应的方程都可以改写成不动点的形式，求一个方程的解也就转化为了求解相应函数的不动点问题。

荷兰数学家布劳威尔证明了一个不动点定理：如果在n维欧几里得空间中存在某个非空的凸紧集，那么这个集合映射到自身的所有连续函数都存在一个不动点。布劳威尔还证明，空间的维数在拓扑变换下是不变的。其他的一些数学家例如日本的角谷静夫等人，在此基础上做了一些适当的推广，使不动点定理可以适用于更一般的情形。

不动点定理有一个特征，那就是它的讨论对象是一个集合到自身的所有连续映射，它告诉我们只要满足不动点定理的条件，就一定会存在不动点。给出具体的算法，实际找出这样的不动点被称为不动点定理的构造性证明，常见的方式就是用迭代方程的方法逐级迭代，最后使之收敛到不动点上。如今寻找不动点的算法已经有多种方法，而且越来越成熟，使寻找不动点不再成为难事。由于获得了不动点就相当于获得了方程的解，这使得不动点理论有着极为广阔的应用前景。

在数学领域，我们拥有解决线性问题的大量强大的数学工具，但是非线性问题使许多数学分析工具失效，使得求解非线性问题变得异常困难。例如求解某个非线性方程组，之前我们只是凭借经验认为方程组中存在多少个变量，一般就需要多少个方程，而实际上这种说法并不严密，通常的非线性问题求解方式也杂乱无章。

但是不动点理论给出了解决非线性问题的一种通用思路，通过不动点定理可以严格确定方程组解的存在性问题，而且依据求解不动点的具体算法，就可以求出非线性问题的数值解，这使我们不再对非线性问题望而生畏。

纳什在证明博弈论的纳什均衡时，就是应用了角谷静夫不动点定理，一个纳什均衡的解实际上就是一个不动点。这可以说是不动点理论在经济学中最重要的贡献了，它给人一种神秘感，在一个如此宽泛的条件之下，我们却可以从严格的数学定理的角度去说，必定会存在一个不动点。不动点有点类似于一个函数的极值或者泛函的极值，是一大类元素之中的某个特殊元素，但它显然又不同于极值。

用于求解不动点的一系列数学工具使求解不动点变成了技术问题，我们可以比较轻易的得出一大类函数的不动点，虽然没有求函数极值那样方便，我们却从中看到了不动点与极值问题的一些异曲同工之处。它们都是某种通用的方法，其研究对象都具有某种任意性，使之从一开始就不是某个特殊问题的特殊解法，而是一个包含大量内容的真正的数学分支；它们都是从一个包含大量元素的集合之中选出某个特殊元素的自然方法，它告诉我们这个特殊元素因为具有某种本质上的属性，使它与其它一般元素不同，从而可以依据某种原则筛选出它们；另外，从纳什均衡的例子中可以看到它们之间还存在某种内在的关联，博弈中的每个人在纳什均衡状态下都实现了各自的极值状态，因为任何偏离这种状态的单独决策都会损害自身的利益，所以在某个邻域里，每个人都处在自身利益的极值点上，而所有参与博弈的人构成的整体，对应的则是一个体系的不动点。

我们可以从直觉上感受到客观世界与数学之间的某种内在关联。为什么我们可以用数学描述世界？因为在很多情况下，客观世界恰好就是数学世界的特殊状态。数学世界中存在某种任意性，是所有可能性的集合，而客观世界则必须从中选择某种具体的状态和形式。这样，如果选择是随机的，客观世界就会自然出现概率最大化的统计规律，例如热力学第二定律；如果客观世界选择的这种具体状态是可能性集合中某个很普通的元素，与其它元素没有什么可以区分的标志，那我们总结不出什么客观规律，但是如果我们从某个独特的角度去理解世界，会发现这个数学可能性的集合中存在某些特殊的元素，这些特殊元素可以是极值点或不动点，或者其它什么特殊元素，因为这个元素具有某种与其它元素不同的可区分标志，使我们可以将这些特殊状态分离和筛选出来，其对应的客观世界就是有规律的。

从这个角度看，客观世界是数学世界的某个子集。至于为什么客观世界总是对应数学世界的特殊状态，我们可以找到一些试图说服自己的理由：比如每一种系统的微观状态都对应一个数学元素，而许多不同的微观状态具有某些相同的宏观属性，使宏观的客观世界服从统计规律；又或者依据费曼思维认为，所有可能性都是存在的，只是在某些特殊状态附近，这些可能性相互加强，而在通常情况下则相互抵消，使世界具有了规律性。这些理由无一例外都加入了额外的假设，使问题简化的同时，也使得关于客观世界的描述成为半经验性质的理论。

在物理学的发展史中，起初像金属电导率、比热之类的性质，只能通过实验测定，后来有了量子论等更基础的理论，使得人们仅仅依靠电子电荷、电子质量、光速、普朗克常数之类的基本物理常数计算物质的各种性质成为可能，这称为第一性原理。

科学家们有一个梦想，希望可以通过纯数学的方法计算像精细结构常数这样的无量纲常数，使物理学常数不再依赖实验测量，成为可以用数学方法计算的数值，从而使客观世界与数学世界真正合二为一。如果我们真的实现了这个梦想，像极值点、不动点之类的特殊状态会成为数学世界中的普通元素，我们周围的客观世界将成为更大的真理海洋中泛起的微不足道的浪花。