95、密度矩阵

1927年冯·诺依曼与朗道各自独立的提出了量子论中密度矩阵的概念，最终应用这一概念实现了统计热力学的量子化。在传统观念中，描述系统状态的是波函数，但是在大多数情况下，尤其是在热力学系统中，系统与外界的相互作用往往不能忽略，这使得我们无法使用波函数描述的纯态理解系统。而这类系统的状态一般可以用大量纯态按照一定的概率混合状态描述。

我们知道，多个纯态按照概率幅叠加得到的仍然是纯态，可以用希尔伯特空间中的向量描述，而这种通过多个纯态按概率混合的状态称为混合态，需要用密度矩阵描述。也就是说，现实中我们接触到的绝大多数量子系统实际上是用密度矩阵描述的混合态。

量子论一经提出，就有人试图将经典热力学量子化，例如玻色-爱因斯坦统计、费米-狄拉克统计、爱因斯坦和德拜关于固体比热的讨论等等，但是没有从根本上实现整个热力学体系的量子化，密度矩阵概念实现了这一目标。

将密度矩阵概念应用于热力学系统，可以将经典统计理论中的配分函数量子化，从而对经典的热力学进行相应的量子修正，使经典统计理论平滑的过渡到量子统计力学之中。当所要讨论的对象不是孤立系统，而是与外界存在能量或物质交换时，用密度矩阵方法仍然可以对系统进行描述与计算。

密度矩阵对角线上元素的和为1，既可以描述纯态，也可以描述混合态，当系统处于纯态时，密度矩阵平方的对角线元素和也是1，但是混合态的这个值则小于1。密度矩阵方法给我们提供了一套描述非孤立系统的精确的数学方法，使我们可以突破波函数的框架，针对更广泛，更实用的物理系统讨论它们的热力学性质。

我们知道，讨论量子体系的测量过程必须要将观察者包含进去，而观察者必须要与体系相互作用才能够感知到测量结果，这使得许多量子体系具有这样的特点：将观察者包含进来的整个体系是个孤立系统，处于纯态之中，而如果从观察者的角度分析这个量子体系，则处在混合态之中，需要应用密度矩阵才能精确的理解它。这种现象说明观察者与被测量的量子体系是一个统一的不可分割的整体，而混合态的出现是人为将一个整体割裂为两部分导致的，因此混合态与相应的密度矩阵是一种人为的产物，是为了将部分从整体中割裂出来分析而产生的数学工具。

在相对论中也存在这样的情况，时空是统一的不可分割的整体，但是这种图景远离人们的经验，使人们产生一种光怪陆离的不真实感。为了能够从人们可以理解的角度分析世界，只好将一个优美的四维时空体系粗暴的分解为三维空间和一维时间，这种人为的划分破坏了理论的整体性，尽管可以使我们在熟悉的环境中理解部分新知识，却背离了系统的本来面目，得到的只是真实的物理体系在我们可以理解的世界中的投影，这的确很像柏拉图的洞穴比喻。

现实中的大多数体系都是混合态，因此密度矩阵比波函数的概念更有用，不仅可以处理热力学平衡态，也可以处理化学平衡的体系，对于相互纠缠在一起的多个子系统，用密度矩阵描述也是很方便的。在量子退相干理论中，密度矩阵尤其重要，因为一些较大的量子体系，尤其是宏观体系，一般与外界存在大量的相互作用，即使是非常微弱的相互作用，也会对量子体系产生非常显著的影响，使量子态退相干为经典状态。

在退相干过程中，密度矩阵中的非对角元素迅速衰减为接近零的数值，而只剩下对角元素。每一个对角线上的元素都可以认为是某个经典概率，这样，当密度矩阵只剩下对角元素时，体系的状态就可以用经典概率来描述了。当密度矩阵非对角元素不可忽略时，表明体系拥有较高的量子成份，无法应用经典概率的方式进行描述。密度矩阵方法使目前最受欢迎的量子退相干历史诠释拥有了极好的数学工具，可以对更大、更复杂的量子体系进行精确的数学描述。

对于宏观现象，量子效应经常可以忽略，而我们的经典力学、经典热力学以及经典电磁学一般足够用来描述宏观世界了。而在微观世界里，我们也有了完善的量子力学，可以在很高的精度上理解微观行为。但是还有一个特殊的尺度，应该引起我们足够的重视，那就是介观尺度。

介观尺度可以理解为宏观尺度与微观尺度的交界处，对于宏观与微观，我们拥有两套不同的描述方式，但是在介观世界里，比如纳米尺度，体系既具有宏观体系的某些特征，又保留着微观世界的量子规律，两者产生的效应都不能忽略。随着摩尔定律使电子元件尺度不断缩小，量子规律在电子元件上的效应越来越显著，掌握和熟悉介观领域的物理规律变得非常迫切起来，而在这一尺度上，密度矩阵方法同样可以大显身手。

由于介观尺度上的物理学显然比原子尺度的物理规律复杂的多，而体系本身的复杂性又不能通过像宏观体系那样应用热力学统计平均的方式进行简化和近似，使这一尺度上的体系计算量非常大，使我们不得不借助计算机。

当我们拥有了计算这些介观体系的算法后，可以通过大型计算机或者量子模拟方法计算它们的各类性质，从而透彻的理解这个曾经被忽略的隐秘王国，而密度矩阵概念则是理解这一过程必不可少的数学工具。或许当我们揭开了介观物理学的神秘面纱，就可以研制出在量子规律下同样可以正常工作的晶体管，从而缩小晶体管的尺寸，继续将摩尔定律延伸下去。